Les propriétés de bilinéarité
et symétrie du produit scalaire vues dans le plan
restent valables dans l'espace. Propriétés:
Bilinéarité et symétrie du produit
scalaire
Quels que soient les vecteurs, et et quel que soit le
réel k:
Démonstrations
Deux vecteurs et de l'espace sont toujours
coplanaires, donc les propriétés du
produit scalaire vues dans le plan restent valables. Ainsi. De même qu'à la
propriété 1, cette propriété
du produit scalaire dans le plan reste valable dans
l'espace:. Trois vecteurs de l'espace ne sont pas
nécessairement coplanaires, donc on ne peut pas
utiliser le même argument qu'aux
propriétés 1 et 2. On va utiliser
l'expression du produit scalaire avec les
coordonnées. Soit, et. Alors et. Donc. D'autre part,. D'où
On peut donc en conclure que. Exemple
Soit et deux vecteurs de l'espace
tels que. Alors. Application: Décomposer un vecteur avec la
relation de Chasles pour calculer un produit scalaire
Dans le cube ABCDEFGH
ci-dessus de côté 4, calculons le
produit scalaire où I est le milieu du
segment [ AE].
Produit Scalaire Dans L'espace
Vérifiez que vous avez bien compris en comparant vos réponses à celles du corrigé. Si vous n'avez pas réussi, nous vous conseillons de revenir sur la fiche de cours, en complément de vos propres cours. Le corrigé des exercices propose des rappels de cours pour montrer que l'assimilation des outils de base relatifs aux études des produits scalaires dans l'espace est importante pour aborder les différents thèmes de ce chapitre et réussir l'examen du bac. Les autres fiches de révisions
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Produit Scalaire Dans L'espace Public
Définition (Plans perpendiculaires)
Deux plans P 1 \mathscr P_{1} et P 1 \mathscr P_{1} sont perpendiculaires (ou orthogonaux) si et seulement si P 1 \mathscr P_{1} contient une droite d d perpendiculaire à P 2 \mathscr P_{2}. Attention, cela ne signifie pas que toutes les droites de P 1 \mathscr P_{1} sont orthogonales à toutes les droites de P 2 \mathscr P_{2}
Définition (Vecteur normal à un plan)
On dit qu'un vecteur n ⃗ \vec{n} non nul est un vecteur normal au plan P \mathscr P si et seulement si la droite dirigée par n ⃗ \vec{n} est perpendiculaire au plan P \mathscr P.
Théorème
Soit P \mathscr P un plan de vecteur normal n ⃗ \vec{n} et soit A A un point de P \mathscr P.
M ∈ P ⇔ A M →. n ⃗ = 0 M \in \mathscr P \Leftrightarrow \overrightarrow{AM}. \vec{n} = 0. Le plan P \mathscr P de vecteur normal n ⃗ ( a; b; c) \vec{n} \left(a; b; c\right) admet une équation cartésienne de la forme:
a x + b y + c z + d = 0 ax+by+cz+d=0
où a a, b b, c c sont les coordonnées de n ⃗ \vec{n} et d d un nombre réel.
On munit l'espace d'un repère orthonormé et on considère
les vecteurs et. car les vecteurs et sont orthogonaux entre eux et. On a donc la propriété suivante:
Exemple: si, dans un repère orthonormé, on considère les vecteurs et
alors
et. 2 Equation cartésienne d'un plan
Remarque: Il existe évidemment une infinité de vecteurs normaux à un plan: ce sont tous les vecteurs colinéaires au vecteur. Propriété: Un vecteur est dit normal à un plan si, et seulement si, il est orthogonal à deux vecteurs non
colinéaires de ce plan. Cette propriété va nous permettre d'une part de vérifier facilement qu'un vecteur est normal à un plan et,
d'autre part, de déteminer les coordonnées d'un vecteur normal à un plan. La propriété directe découle de la définition. Nous n'allons donc prouver que la réciproque. Soient et deux vecteurs non colinéaires d'un plan,
un vecteur de et un vecteur orthogonal à et. Il existe donc deux réels et tels que. Ainsi
Le vecteur est donc orthogonal à tous les vecteurs du plan. Il lui est par conséquent orthogonal.