Dans une copie d'élève, on lit la chose suivante:
Proposition: pour toutes fonctions continues $f, g$ de $[0, 1]$ dans $\mathbb R$, on a $\int_0^1 |f(x)-g(x)|dx=\left|\int_0^1 \big(f(x)-g(x)\big)dx\right|$. Preuve: Si $f(x)\geq g(x)$, alors $f(x)-g(x)\geq 0$. Ainsi, on a $|f(x) - g(x)| = f(x)- g(x)$ et donc $\textstyle \displaystyle\int_0^1 |f(x)-g(x)| \, dx = \int_0^1 (f(x)-g(x))\, dx. $
Cette dernière intégrale est positive, elle est donc égale à sa valeur absolue. Par contre, si $f(x) \leq g(x)$, alors $f(x)-g(x)\leq 0$. Dans ce cas on a $|f(x) - g(x)| = g(x)- f(x)=-(f(x)-g(x))$ et donc
\[
\textstyle\displaystyle \int_0^1 |f(x)-g(x)| \, dx = - \int_0^1 (f(x)-g(x))\, dx. \]
L'intégrale de la fonction $f-g$ étant négative, cette quantité est égale à $\left| \int_0^1 (f(x)-g(x))\, dx \right|$. Dans tous les cas, on déduit que $\textstyle \displaystyle\int_0^1 |f(x)-g(x)| \, dx = \left| \int_0^1 (f(x)-g(x))\, dx\right|$. Exercice intégrale de riemann. Démontrer que la proposition est fausse. Où se situe l'erreur dans la démonstration?
Exercice Integral De Riemann De
Calculer de même les limites de. Solution...
(on pouvait justifier a priori la convergence en remarquant que cette suite est croissante et majorée par 1). Exercice 4-4 [ modifier | modifier le wikicode]
Soient une fonction continue, -périodique sur, et dans. Montrer que. Il suffit de faire un changement de variable et de poser. On a alors. Soit continue sur, -périodique, telle que. Montrer que. Posons avec et, et soit le max de sur une période (donc sur). Alors,. Soient une fonction impaire sur, et. Que dire de? Quid si est paire? Exercice integral de riemann en. Pour impaire, on a:
Pour paire, on a:
Exercice 4-5 [ modifier | modifier le wikicode]
Soit et de classe telle que. Montrer que:
Notons. Par l'inégalité de Cauchy-Schwarz, on a:. On conclut:. Exercice 4-6 [ modifier | modifier le wikicode]
Soit et de classe. Montrer que:. Exercice 4-7 [ modifier | modifier le wikicode]
Référence: Frédéric Paulin, « Topologie, analyse et calcul différentiel », 2008, p. 260, lemme 7. 23
Soient, et une fonction continue telle que.
Exercice Integral De Riemann En
Une page de Wikiversité, la communauté pédagogique libre. Exercice 4-1 [ modifier | modifier le wikicode]
Soit continue telle que. Montrer que est constante et égale à 0 ou 1. Solution
La fonction est continue, positive ou nulle et d'intégrale nulle. C'est donc la fonction nulle, c'est-à-dire que ne prend que les valeurs ou. Exercice corrigé : Lemme de Riemann-Lebesgue - Progresser-en-maths. D'après le théorème des valeurs intermédiaires, elle ne prend que l'une de ces deux valeurs. Soit continue. Montrer que si et seulement si est de signe constant. Soient telles que et (autrement dit:), et soient
leurs intégrales respectives sur (donc)..
Comme est continue,. De même,. Exercice 4-2 [ modifier | modifier le wikicode]
Soit continue telle que
Montrer qu'il existe tel que
La fonction est continue et d'intégrale nulle donc elle est soit nulle, auquel cas n'importe quel convient, soit de signe non constant, auquel cas, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, elle s'annule en au moins un point. Exercice 4-3 [ modifier | modifier le wikicode]
Montrer que la suite définie par converge et calculer sa limite.
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