I. Généralités. Théorème et définition:
Il existe une unique fonction f f, dérivable sur R \mathbb R telle que
f ′ = f f'=f
f ( 0) = 1 f(0)=1
On la nomme fonction exponentielle; elle sera notée exp () \exp()
Démonstration:
L'existence est admise. On montre ici l'unicité d'une telle fonction. Etape 1
Montrons d'abord qu'une telle fonction ne s'annule pas sur R \mathbb R.
Posons
h ( x) = f ( x) f ( − x) h(x)=f(x)f(-x)
f f étant définie et dérivable sur R \mathbb R, h h est définie et dérivable sur R \mathbb R.
On a alors
h ′ ( x) = f ′ ( x) f ( − x) + f ( x) ( − f ′ ( − x)) h'(x)=f'(x)f(-x)+f(x)(-f'(-x))
h ′ ( x) = f ′ ( x) f ( − x) − f ( x) f ′ ( − x) h'(x)=f'(x)f(-x)-f(x)f'(-x)
Or par hypothèse,
Donc
h ′ ( x) = f ( x) f ( − x) − f ( x) f ( − x) = 0 h'(x)=f(x)f(-x)-f(x)f(-x)=0
Ainsi, la fonction h est constante. On connait une valeur de f: f ( 0) = 1 f(0)=1.
- Les fonction exponentielle terminale es strasbourg
Les Fonction Exponentielle Terminale Es Strasbourg
Voici les autres. Propriétés
Propriétés de la fonction exponentielle
Voici un grand nombre de propriétés sur cette fonction exponentielle. La fonction exponentielle est strictement croissante sur. Pour tout réel x, e x > 0. Pour tout a, b ∈,
e a < e b ⇔ a < b
e a = e b ⇔ a = b
Pour tout x > 0, e ln x = x. Pour tout réel x, ln (e x) = x. La fonction exponentielle est dérivable sur et pour tout réel x, ( e x)' = e x. Si u est une fonction dérivable sur, alors:
( e u)' = u ' e u
Pour tout x, y ∈,
e x + y = e x e y
Pour tout réel x,
Pour tout x ∈ et tout n ∈,
( e x) n = e nx
Ces propriétés sont primordiales. Cela doit être un automatisme pour vous. Vous deviez déjà en connaître certaines, relatives à la fonction puissance. Je veux juste insister sur une chose en particulier. Retenez ceci: la exponentielle est toujours positive. Elle peut, contrairement à sa soeur logarithme, "manger" du négatif, mais le résultat est toujours positif. 3 - Tracé de la fonction exponentielle
Le domaine de définition de la fonction exponentielle est:.
Et dans le cas très particulier où k=1, on peut se passer du logarithme népérien:
exp (x) = 1 ⇔ exp (x) = exp (0) ⇔ x = 0
4/ Inéquations de la fonction exponentielle
exp (a)
Sens réciproque:
si a R: exp(a)
Soient a et b réels tels que:
exp(a)
Montrons par l'absurde que a
Supposons a > b
on aurait alors, comme la fonction exponentielle est strictement croissante sur R: exp(a) > exp(b). Ce qui est contraire à l'hypothèse: exp(a). Équivalence qui peut être élargie en la combinant à la conséquence n° 2: Quels que soient a et b réels: exp(a) exp(b) ⇔ a b
Ces équivalences vont nous permettre, dans certains cas, de résoudre des inéquations faisant intervenir la fonction exponentielle. Si l'inéquation est par exemple: exp (x) > 3
3 > 0 donc il peut être écrit: 3 = exp (ln 3)
Et l'inéquation devient: exp (x) > exp (ln3) ⇔ x > ln 3
Une valeur approchée de ln3 pouvant être trouvée à la calculatrice si besoin est.