1° a = 42; b = 65. 2° a = 285; b = 1463. 3° a = 360; b = 707. 1° Oui car 11b – 17a = 1. 2° Non car a et b sont divisibles par 19. 3° Oui car 707×83 – 360×163 = 1. Exercice 3-3 [ modifier | modifier le wikicode]
Trouver le PGCD des nombres suivants:
a) 360 et 2100;
b) 468 et 312;
c) 700 et 840;
d) 1640 et 492.
a) pgcd(6×60, 35×60) = 60;
b) pgcd(3×156, 2×156) = 156;
c) pgcd(5×140, 6×140) = 140;
d) pgcd(10×164, 3×164) = 164. Exercice 3-4 [ modifier | modifier le wikicode]
Expliquer pourquoi, dans chacun des cas suivants, on peut donner très rapidement le PGCD de a et b.
1°
2°
3°
1° 5 et 11 sont premiers entre eux donc pgcd(a, b)=12. 2° 3 et 8 sont premiers entre eux donc pgcd(a, b)=15. 3° 22 et 15 sont premiers entre eux donc pgcd(a, b)=26. Exercice diviseur commun. Exercice 3-5 [ modifier | modifier le wikicode]
Trouver le PGCD des trois nombres a, b, c. 1° a = 162; b = 270; c = 180. 2° a = 504; b = 630; c = 1764. Note: Le PGCD de trois entiers est le plus grand des diviseurs positifs communs à ces trois entiers.
Exercice Diviseur Commun
On pose A = pa + qb et B = ra + sb. Quel est le PGCD g' de A et B? g divise A et B donc il divise g'. Réciproquement, g' divise sA – qB = a et pB – rA = b donc il divise g. Donc g' = g.
Exercice 3-12 [ modifier | modifier le wikicode]
a et b sont deux entiers. Exercice diviseur commun dans. A = 11a + 2b et B = 18a + 5b. Démontrer que:
1° si l'un des deux nombres A ou B est divisible par 19, il en est de même pour l'autre;
2° si a et b sont premiers entre eux, A et B ne peuvent avoir d'autres diviseurs communs que 1 et 19. 1° 5A – 2B = 19a. 2° Si n divise A et B alors il divise sA – qB = 19a et pB – rA = 19b donc il divise pgcd(19a, 19b) = 19pgcd(a, b) = 19. Exercice 3-13 [ modifier | modifier le wikicode]
a est un entier. On pose m = 20a + 357 et n = 15a + 187, et l'on note g le PGCD de m et n. Démontrer que:
1° g divise 323;
2° « g est un multiple de 17 » est équivalent à « a est un multiple de 17 »;
3° « g est un multiple de 19 » est équivalent à « il existe un entier k, tel que a = 19k + 4 »;
4° 289 est le plus petit entier positif a tel que g = 323.
Auteur: Yuki
Exercice: 1. Décomposer les nombres 162 et 108 en produits de facteurs premiers. 2. Déterminer deux diviseurs communs aux nombres 162 et 108 plus grands que 10. 3. Un snack vend des barquettes composées de nems et de samossas. Le cuisinier a préparé 162 nems et 108 samossas. Dans chaque barquette: – le nombre de nems doit être le même; – le nombre de samossa doit être le même; Tous les nems et tous les samossas doivent être utilisés. a. Le cuisinier peut-il réaliser 36 barquettes? b. Quel nombre maximal de barquettes pourra-t-il réaliser? Fiche de révision maths 3è PGCD - méthode de calcul du PGCD. c. Dans ce cas, combien y aura-t-il de nems et de samossas dans chaque barquette? Corrigé: 1. 162=2×81=2×9×9=2×3×3×3×3 108=2×54=2×6×9=2×2×3×3×3 2. 27=3×3×3 et 18=2×3×3 sont deux diviseurs communs aux nombres 162 et 108 plus grands que 10. a) 36 n'est pas un diviseur de 162 donc le cuisinier ne pourra pas réaliser 36 barquettes. b) On cherche le plus grand diviseur commun à 162 et 108. C'est le nombre 2×3×3×3=54 Le cuisinier pourra faire au plus 54 barquettes.